因数分解で謎だと思った事（自己満足）

最近数1を理解したくなり、動画で勉強してるのですが

そこで、下を因数分解しろみたいな問題が出ました　（数値は変更済み）

3x²y + 9xy² - 6x²+ 2y³ -4y² - 14xy

ぱっと見「複雑すぎて無理じゃん」と思い投げたんですが

解説によると変数を一つ選んで次数ごとにまとめると解けるらしい。

ホントか??

この場合

    3x²y + 7xy² - 6x²+ 2y³ -4y² - 14xy

=  (3y - 6)x² + (7y² - 14y)x + (2y³ - 4y²)  とxの次数ごとにまとめて

=  3(y - 2)x² + 7y(y - 2)x + 2y²(y - 2)       係数を括る

すると  (y-2)が全ての項に出るので

=  (y - 2)(3x² + 7yx + 2y²)       

=  (y - 2)(3x + y)(x + 2y)       

 という風に解けるらしいです

しかし「次数毎にまとめる方法が効果的な理由」が直感的に理解できず

自分が納得する説明を考えようと思った

というのがこの記事の趣旨です（前置きが長くなりました…）

まず下のままだと構造が見えにくいです

3x²y + 7xy² - 6x²+ 2y³ -4y² - 18xy

横に長いし

次数による違いがよく分からないからです

そこで例えば3x²yを下の様に表すことにします

縦がxの次数で、横がyの次数です

こうすると次数の違いが場所で現れるので分かりやすいと思います。

～問題の式～

3x²y + 7xy² - 6x²+ 2y³ -4y² - 18xy

ここでこの式は下の様になります

 この上において「xの次数についてまとめて考える」というのは

こういう風に行ごとに考えるという意味になります。

大事な事として、掛け算は下の様に片方を"平行移動して"足す操作になります。

ここで一次式、例えばy-3は下の様になり

横一列か縦一列の物になります。

ある式を因数分解した結果、一次式がそこに含まれるとすると

その式を図で表した際、その図は一列に並んだものを平行移動して足し算することを繰り返すことで同じものを作れることになるので

列か行ごとに独立したものとしてまとめて考えていいという事になります。

上が自分の理解です